Mathematik - 8. Schulstufe

Mathematik 8. Schulstufe

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Mathematik 8. Schulstufe

Über das Lerngebiet

Die folgenden Kapitel werden behandelt: Reelle Zahlen, Pythagoras, Terme, Gleichungen und Ungleichungen, Kreis und Winkel, Körper, Funktionen, Statistik, Gleichungssysteme

Reelle Zahlen Grundlagen

Teilweises Wurzelziehen Quadratzahlen unter der Wurzel, Rationalmachen des Nenners, Addition und Subtraktion unter der Wurzel, Wurzeln zusammenfassen, Primfaktorenzerlegung
Zahlenmengen: Irrationale Zahlen, Mengen N, Z, Q, I, R, Symbole

Kubieren und Kubikwurzelziehen

Reelle Zahlen Grundlagen

Pythagoras Anwendungen Erweiterung

Anwendungen in ebenen Figuren: gleichschenkeliges Trapez, Deltoid
Flächen- und Raumdiagonalen: Quader, Würfel
Pythagoras in Pyramiden: Seitenhöhe, Körperhöhe, Seitenkante, Flächendiagonale

Pythagoras Anwendungen Erweiterung

Pythagoras Höhensatz und Kathetensatz

Höhensatz: h² = q · p
Kathetensatz: p · c = a², q · c = b²
Wurzelkonstruktionen mit Pythagoras, Höhensatz, Kathetensatz

Pythagoras Höhensatz und Kathetensatz

Bruchterme Grundlagen

Bruchterme Grundlagen: Definitionsmenge, Produkt-Null-Satz
Kürzen und Erweitern von Bruchtermen: Kürzen nur von Faktoren
Addieren und Subtrahieren von Bruchtermen – Teil 1: Hauptnenner
Addieren und Subtrahieren von Bruchtermen – Teil 2: gleichnamige Bruchterme, Vorzeichen, ungleichnamige Bruchterme

Bruchterme Grundlagen

Bruchterme Erweiterung

Binomische Formeln in Bruchgleichungen: Beispiele
Multiplizieren und Dividieren von Bruchtermen: Reihenfolge

Bruchterme Erweiterung

Binomische Formeln Körper

Binomische Formeln für Körper:
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + a³
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - a³

Pascalsches Dreieck in Verbindung mit den Binomischen Formeln

Binomische Formeln Körper

Gleichungen Besondere Lösungsfälle

Lösungsfälle: eine Lösung, unendlich viele Lösungen, keine Lösungen
Produkt-Null-Satz: Gleichung mit 2 Lösungen
Quadratwurzel ziehen: immer 2 Lösungen
Besonderheiten bei Ungleichungen: negatives Vorzeichen – Relationszeichen umdrehen, aufzählende und beschreibende Lösungsmenge

Gleichungen Besondere Lösungsfälle

Bruchgleichungen

Grundlage: Bruchterme – Rechenregeln, Unterschied zu Bruchtermen, Voraussetzungen
einfache Gleichung mit Brüchen: Variable im Zähler
Bruchgleichung: Variable im Nenner

Bruchgleichungen

Kreis Berechnung Grundlagen

Grundlagen Kreisberechnung: u, d, r, π = u : d
Kreisumfang: d, r, Zentriwinkel 360°
Kreisfläche: Schranken, Kreis als Rechteck, d, r
Formeln umformen: d, r

Winkel im Kreis: Zentriwinkel, Peripheriewinkel

Kreis Berechnung Grundlagen

Kreis Berechnung Erweiterung

Kreisring: Umfang, Flächeninhalt
Kreisbogen: Formel
Kreissektor: Umfang, Flächeninhalt
Formeln umformen
Kreissegment: 90° und 60°

Kreis Berechnung Erweiterung

Prismen mit Kreisflächen

Drehzylinder: Oberfläche (gleichseitig), Volumen
Drehkegel: Oberfläche (gleichseitig), Volumen
Kugel: Oberfläche, Volumen
zusammengesetzter Körper

Prismen mit Kreisflächen

Funktionen Grundlagen

Grundlagen: Funktion = eindeutige Zuordnung
Direkte Proportionalität: Wertetabelle, Quotientengleichheit, Graf, y = k ∙ x
Zuordnungsvorschrift: Funktionsgleichung, Funktionsterm, Proportionalitätsfaktor
Steigungsdreieck: Steigung k positiv, Gefälle k negativ, Höhendifferenz durch waagrechte Differenz, Δ = Delta = Differenz

Funktionen Grundlagen

Lineare Funktionen

Homogene lineare Funktionen
Inhomogene lineare Funktionen
Funktionsgleichung, Steigungsdreieck, Punkte auf Funktionen
Besonderheiten: Steigungswinkel α, 1. und 2. Mediane
Parallele Geraden: k bleibt gleich, Parallele zur y-Achse und x-Achse (keine Funktion)
Nullstelle: Gerade kreuzt x-Achse, N = (x|0)

Lineare Funktionen

Statistik Ergänzungen und Boxplot

Klassenbreite berechnen
Zentralmaße: arithmetisches und gewogenes Mittel
Quartile
Kastendiagramm (Boxplot)
Streuungsmaße: mittlere absolute Abweichung, Standardabweichung
Streudiagramm (x-y-Diagramm)

Statistik Ergänzungen und Boxplot

Weitere Funktionen

gebrochen rationale Funktion: Funktionsgleichung y = k : x, Basis = indirekte Proportionalität, Graf = Hyperbel
exponentieller Wachstum und Wachstumsfaktor (1 + p/100)
Zinseszinsen K_n = K₀ ∙ (1 + p/100)ⁿ
Exponentielle Abnahme und Abnahmefaktor (1-p/100)
Beispiele: Baumbestand, Wert eines PKWS
quadratische Funktionen – Grundlage: Normparabel, y = x², y = -x²
Quadratische Funktionen – Verschiebung: y = ax² - breiter und schmäler, y = ax² + b – nach oben und nach unten

Weitere Funktionen

Lineare Gleichungssysteme Grundlagen

Lineare Gleichung mit zwei Variablen – allgemeine Form: Gleichungen lösen mit x und y, geordnetes Zahlenpaar, Lösungsmöglichkeiten
Lineare Gleichungmit zwei Variablen – Hauptform: Umwandlung allgemeine Form in Hauptform, Zusammenhang a/-b mit k, sowie c/b mit d, Graf zeichnen
Lineare Gleichungssysteme und ihre Lösungsverfahren: zwei lineare Gleichungen, 4 Lösungsverfahren
grafisches Lösungsverfahren: allgemeine Form, Hauptform, Graf zeichnen, Schnittpunkt ablösen, Lösungsmenge, Probe

Lineare Gleichungssysteme Grundlagen

Lineare Gleichungssysteme Lösungsverfahren

Einsetzungsverfahren
Gleichsetzungsverfahren
Additionsverfahren
Anwendung, x oder y einsetzen, Schnittpunkt, Lösungsmenge, Probe, Grafik

Lineare Gleichungssysteme Lösungsverfahren

Lineare Gleichungssysteme Lösungsmöglichkeiten

eine Lösung: L = {S}, Steigung k ist unterschiedlich
keine Lösung: parallel, L = { }, Steigung k ist gleich
unendlich viele Lösungen: identisch, Steigung k ist gleich
Sonderfälle von ax + by = c: Parallele zur y-Achse (b = 0, a ≠ 0), Parallele zur x-Achse (a = 0, b ≠ 0)

Lineare Gleichungssysteme Lösungsmöglichkeiten